Hintikka ja Fregen erehdys

Suomalaisen filosofian grand old man, Bostonin yliopistossa vuodesta 1990 työskennellyt Jaakko Hintikka on lukuvuoden 2010–2011 Helsingin yliopiston Tutkijakollegiumin Distinguished Visiting Fellow. Professori Hintikka puhui syyskuun viimeisenä päivänä Helsingin yliopiston filosofia-aineiden tutkijaseminaarissa tarkastellen yhtä Gottlob Fregen (1848–1925) tuotannon kiintoisaa ongelmaa.
 
Hintikan esitelmä jatkoi hänen jo 50-luvulla aloittamaansa tutkimusta (Identity, Variables, and Impredicative Definitions. Journal of Symbolic Logic. Vol. 21, No. 3, 1956, 225–245). Hänen mukaansa Fregen tulkinta kvanttorien ’jokainen’ (universaali, ∀x) ja ’eräs’ (eksistenssi, ∃x) rooleista logiikassa on syy tunnettuihin paradokseihin joukko-opissa. Nykyään Hintikka tarjoaa ratkaisuksi siirtymistä uuteen ei-fregeläiseen tulkintaan kvanttoreista.
 
Frege (kuten itsenäisesti myös Charles S. Peirce (1839–1914)) ymmärsi, että matemaattinen päättely ei taivu klassisen aristoteelisen syllogistiikan muotoon, koska syllogismeissa kvanttorien rooli on liian rajoitettu. Frege kehitti formaalin kielen, jossa pystyttiin ilmaisemaan monikvanttorisia väitteitä, ja päättelyjärjestelmän, joka mahdollisti tällaisten lauseiden välisten loogisten suhteiden tarkastelun. Ongelmaksi Fregelle muodostui kvanttoreiden merkityksen selittäminen: hän päätyi substitutionaaliseen tulkintaan kvanttoreista korkeamman asteen predikaatteina. Eksistenssi ilmaisi hänelle sen alaan kuuluvan alemman asteen predikaatin epätyhjyyttä (käytännössä eksistenssikvanttori on tällöin rajoittamaton disjunktio) ja kaikkikvanttori taas vaihtoehdottomuutta (rajoittamaton konjunktio).
 
Tässä otettiin todellinen tieteellinen edistysaskel: nämä kvanttorit pystyvät ilmaisemaan erinäisiä funktionaalisia riippuvuussuhteita. Frege ei kuitenkaan vaikuta olleen täysin selvillä näistä löydöksensä seuraamuksista. Erityisesti Hintikan mukaan Frege ei ymmärtänyt, etteivät hänen kvanttorinsa muodosta kaikkia niitä riippuvuuksia ja riippumattomuuksia, joita esimerkiksi niin sanotut Skolem-funktiot ilmaisevat. Toisin sanoen Fregen kvanttorit eivät ilmaise kaikkia matemaatikkojen päättelyissään käyttämiä funktionaalisia suhteita. Tätä Hintikka kutsuu Fregen erehdykseksi. Vaikka nykyloogikot eivät juurikaan enää seuraa Fregeä hänen substitutionaalisessa tulkinnassaan kvanttoreista, Hintikka painottaa, että monet heistä seuraavat Fregeä silti hänen erehdyksessään.
 
Tarvittavat funktionaaliset suhteet kyetään ilmaisemaan kvanttoreilla Hintikan ja Gabriel Sandun kehittämässä riippumattomuusystävällisessä (independence friendly) logiikassa. Tämä laajennos ensimmäisen kertaluvun (first order) logiikalle sallii kvanttorien julistamisen riippumattomaksi toisen kvanttorin (tai termin) tulkinnasta. Ajatellaan esimerkiksi korttipeliä, jossa pelaaja saa vuorollaan nähtäväkseen vain ne aiemmin pelatut kortit, joita pelivuoron alussa ei ole julistettu salaisiksi. Samankaltainen mahdollisuus ikään kuin pimittää tietoa vastapelurilta erottaa IF-logiikan FO-logiikasta.
 
Hintikka kysyy retorisesti: mistä syystä tästä aiheesta kannattaa nostaa meteli. Hän vastaa: ensinnäkin IF-logiikka on ilmaisuvoimaisempi kuin FO-logiikka. Mutta todellinen syy on se, että Fregen erehdys on Hintikan mukaan kaikkien joukko-opillisten paradoksien taustalla.
 
Ajatellaan esimerkiksi joukon R määritelmää:
∀x(x ∈ R ↔ △ (x)):
 
Milloin tämä määritelmä on hyväksyttävissä? Perusvastaus kuuluu: silloin kun definiens (△ (x)) on riipppumaton definiendumista (R). Tämä ymmärretään yleensä niin, että definiendum ei saa esiintyä (vapaana) definienssissä. Mutta mikäli kvanttorit ymmärretään Fregen hengessä, standardirajoite ei ilmaise todellista riippumattomuutta. Tämä näkyy esimerkiksi siinä, että R:n määritelmä voidaan tulkita skolemisaatioksi kaavalle ∃y∀x(x ∈ y ↔ △ (x)). Tästä johtuu, että määritelmän jokainen kvanttori (niin definienssissä kuin myös ∀x määritelmän alussa) on tavalla tai toisella riippuvainen termin ”R” tulkinnasta (eli joukosta R).
 
Riippumattomuusehtoa voidaan kuitenkin vahvistaa monin tavoin siirtymällä IF-logiikkaan. Silloin esimerkiksi määritelmän jokainen kvanttori voidaan julistaa riippumattomiksi termin ”R” tulkinnasta. Hintikka huomauttaa, että jo Henri Poincaré (1854–1912) ymmärsi joukko-opin ongelmien juuren olevan kvanttorien välisissä riippuvuuksissa, kun hän muodosti kuuluisan cercle vicieux -periaatteensa, ja että tässä suhteessa Bertrand Russellin (1872–1970) tunnetumpi versio vicious circlesta poikkeaa olennaisesti alkuperäisestä. Koska Russell ymmärsi kvanttorit fregeläisittäin, hänen formaali tulkintansa Poincarén periaatteesta johti hänet harhaan. Hintikka selittää, että Russell saattoi ymmärtää riippumattomuuden vain yhdellä tavalla: määritelty joukko ei itse saa kuulua niihin joukkoihin, joiden avulla tai mukaan se määritellään. Russellin tyyppiteorian lisäksi myös Ernst Zermelon (1871–1953) ja Abraham Fraenkelin (1891–1965) aksiomaattiset joukko-opit kärsivät siitä, että itse perusongelmaa ei ole ratkaistu. Zermelo lisäsi joukon määrittelemiseen ehtoja, jotka sulkevat pois paradoksit. Mutta silti hän ei, eikä Fraenkelkaan, tuonut todellista riippumattomuutta defininienssille definiendumista, sillä käytetty logiikka pysyi perustaltaan fregeläisenä.
 
Hintikka lukee Poincarén noidankehäperiaatteen seuraavasti: definienssin kvanttorien on oltava riippumattomia definiendumin tulkinnasta. Poincarélla itsellään ei vain ollut käytettävissään sopivaa loogista välineistöä tarvittavan riippumattomuuden muodolliseen ilmaisemiseen. Tämä tulkinta Poincarén ja Russellin (sekä Zermelon) käsitysten erosta vaikuttaisi olevan filosofisesti erittäin hedelmällinen.
 
Professori Hintikka päätti esitelmän puhumalla innostavaan tyyliinsä vielä IF-logiikan ja modaalikäsitteiden suhteesta ja siitä, miten laskettavuus on ilmaistavissa IF-logiikassa päätelmien avulla.
 
K. Severi Hämäri